Sorpresas Mágicas ha sido diseñado para aprender a establecer modelos matemáticos de la realidad, integrando conceptos de estadística/probabilidades con conceptos de álgebra/geometría analítica. Es un juego que además promueve el aprendizaje cooperativo. En este software el estudiante aprende a utilizar representaciones concretas de las nociones de incerteza y probabilidad, y a pasar de percepciones implícitas a elaborar conjeturas explícitas. El estudiante puede ver inmediatamente las consecuencias de sus conjeturas y retroalimentar sus estimaciones. La conexión con el álgebra está principalmente enfocada a las nociones de intervalos numéricos, ecuaciones e inecuaciones lineales, ecuaciones e inecuaciones cuadráticas, y análisis estadístico discriminante. Ha sido utilizado con niños desde séptimo básico (opción intervalo principiante e intermedio), con estudiantes de enseñanza media (opciones lineales y cuadráticas, tanto principiante como intermedio), y universitarios (opción experto del menú).

Palabras claves: Constructivismo, Representación Visual, Juegos Cooperativos, Pre-Algebra y Álgebra, Probabilidades y Estadística.

Objetivos y/o Contenidos Curriculares del Software Educativo

Correspondencia aproximada con contenidos curriculares típicos.

Séptimo:

· Números naturales

· Números decimales

· Proporcionalidad directa

Octavo:

· Recta numérica

· Sistema de ejes cartesianos

· Proporcionalidad invers

· Relacionar ideas geométricas, numéricas y de medición

Primero Medio (grado 9):

· Nociones de número, número racional, número negativo.

· Análisis de significación de las cifras en la resolución de problemas

· Resolución de desafíos y problemas numéricos orientados a la identificación de regularidades

· Nociones de variable. Análisis y descripción de situaciones que ilustren variabilidad

· Gráficos y tablas

· Proporcionalidad directa, funciones lineales y ecuaciones de primer grado.

Segundo Medio (grado 10):

· Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por números

· Representación y análisis de problemas contextualizados

· Variables dependientes e independientes. Gráfico de función.

· Ecuación de la recta, gráfico de las rectas.

· Juegos de azar, iteración de experimentos sencillos.

· Noción de probabilidad como proporción.

Tercero Medio (grado 11):

· Inecuaciones lineales

· Funciones cuadráticas y sus gráficas.

· Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas

· Variable aleatoria, experimentación en casos concretos

Cuarto Medio (grado 12):

· Graficación e interpretación de datos estadísticos de diversos contextos.

· Selección de diversas formas de organizar, presentar y sintetizar información.

· Inferencia a partir de distintos tipos de muestra.

Descripción del Software Educativo

El software introduce al estudiante al modelamiento matemático de manera tal de reproducir lo más fielmente posible tres componentes del mundo real: 1) datos reales en constante aparición, 2) tomas de decisiones en base a las estimaciones realizadas 3) retroalimentación de las representaciones mentales de uno en base a nuevos datos y las decisiones anteriores. Obliga a manejar en forma muy significativa la noción de variables, la de factores de entrada y factores de salida, de variables numéricas versus cualitativas, de variables sin ruido versus con ruido, de representación en la recta real, representación de intervalos, de gráficos xy, de estimación de frecuencias y probabilidades, de ecuaciones de rectas, de inecuaciones lineales, de ecuaciones e inecuaciones cuadráticas, de análisis discriminante (estadística), de separabilidad entre regiones de decisión, y de la conexión entre álgebra con estadística y probabilidades. El software ofrece la posibilidad que el profesor haga a los estudiantes experienciar problemas con incerteza y de toma de decisiones, tal como sucede en la vida real tanto en problemas científicos como del mundo empresarial. Por otra parte, las Sorpresas Mágicas introducen al estudiante al problema de trasladar intuiciones y descubrimientos inconscientes al plano consciente, logrando transformar reconocimientos superficiales de patrones en modelos explícitos de la realidad. Es un juego en equipos que estimula el aprendizaje cooperativo.

Interfaz: la interfaz representa visualmente (con una caja) la noción de variables de entrada y con una sorpresa la variable de salida. Esta variable es la que típicamente uno debe estimar (adivinar). La representación del problema de modelamiento como un juego de sorpresas convierte al problema en uno mucho más estimulante que el sólo ejercicio de encontrar un conjunto de ecuaciones que ajusten un mar de datos.

Estructura: Cuenta con la posibilidad de generar información numérica o general (numérica y cualitativa), a niveles Principiante, Intermedio o Experto, de jugarse en singles o en equipos de 2, 3 ,4, 6 o 12 jugadores. En el caso numérico de restringirlo a problemas de intervalos (mayor o menor, intervalos [a,b], producto cartesiano de dos intervalos, y los correspondientes casos probabilísticos (separación difusa), a problemas con rectas (sistemas e inecuaciones lineales, tanto determinístico como probabilísticos), y a problemas con funciones e inecuaciones cuadráticas (determinístico como probabilísticos).

Funcionalidad: Cada estudiante ingresa su apuesta con el mouse presionando su casillero. El equipo puede ver los tiempos de respuesta y el puntaje de todo el equipo. Al final del juego, el profesor puede ver un informe por equipos y por cada estudiante para determinar el grado de aprendizaje de cada uno. Este informe es generado automáticamente, dándole al profesor una evaluación inmediata sin necesidad de mayores pruebas ni correcciones.

Aplicabilidad: El profesor puede especificar las lecciones o juegos de acuerdo al nivel del curso. Se ha utilizado con estudiantes pertenecientes séptimo y octavo de enseñanza básica, estudiantes de enseñanza media, con estudiantes universitarios de ingeniería y con profesionales (médicos, empresarios, profesores, analistas financieros, ingenieros, etc.).

Arquitectura del Software Sorpresas Mágicas

Diagrama del Menú

Manual del Usuario

Al correr las Sorpresas Mágicas aparecerán las siguientes pantallas

Presionando el botón de avanzar llegarás a la pantalla de selección del tipo de juego:

Ingresa el nombre de tu equipo, el número de jugadores de tu equipo, el nivel, y si quieres usar sólo información numérica o general (numérica y cualitativa). Si escoges Numérico, entonces debes escoger una opción entre Intervalo, Lineal o Cuadrático, y entre Determinístico o Probabilístico.

Si estudias en enseñanza básica escoge Principiante o Intermedio, y en el caso Numérico escoge Intervalo Determinístico. Si estudias en enseñanza media escoge Principiante o Intermedio, y en el caso Numérico escoge ya sea Intervalo, Lineal o Cuadrático, y gradualmente pasa de Determinístico a Probabilístico. Si eres universitario o profesional, escoge nivel Experto, pero sólo después de haber pasado por los otros niveles.

En la siguiente pantalla, tú y tu equipo ingresas las apuestas:

Aquí se ve que el jugador 3 apostó negro (presionando el casillero con el mouse). El resto apostó blanco. Anota las características de la caja pues están relacionadas con el color de los casilleros. Justamente, tu tienes que tratar de adivinar esa relación. El resultado de la apuesta aparece en la pantalla siguiente:

¡Buena suerte, campeón!

Guía conexión Estadística/Probabilidades con Algebra/Geometría Analítica

Sorpresas Mágicas ayuda a establecer conexiones entre estadística/probabilidades y álgebra/geometría analítica. En esta guía se explica cómo aprovechar ese gran potencial.

Intervalos

Si se escoge la opción principiante, numérico, intervalo, determinístico, y se grafican dos variables cualesquiera, se consigue un gráfico como el siguiente:

En este gráfico cada punto corresponde a dos características de una caja, y el círculo o asterisco marcado corresponde a si el casillero salió blanco negro para esa caja. De esta forma, para un casillero dado y para cada una de las 100 cajas, el gráfico anterior indica el largo de la caja, el ancho de la cara y su correspondientes sorpresa (blanco o negro).

Nótese que no se separan bien las dos nubes de puntos. Sin embargo, si se grafican la variable significativa ( ancho caja) con otra acompañante se obtiene el siguiente gráfico xy:

Esto significa que para este casillero, la regla

SI ancho caja <= 4.7

ENTONCES casillero=negro.

es la regla ganadora que permite adivinar nuevos casilleros (es el modelo matemático buscado).

Si se escoge la opción intermedio, numérico, intervalo, determinístico y se grafican la variable significativa con otra acompañante se obtiene el siguiente gráfico xy:

O sea la regla discriminante es: Si 1.6 <largo cara< 1.85 ENTONCES casillero = negro.

Si se escoge la opción experto, numérico, intervalo, determinístico y se grafican las dos variables discriminantes, se obtiene el siguiente gráfico xy:

Nótese que en el ejemplo anterior la regla discriminante requiere especificar los cuatro cuadrantes.

Lineales (ecuación de la recta)

Si se escoge la opción principiante, numérico, lineal, determinístico y se grafican las dos variables discriminantes, se obtiene el siguiente gráfico xy:

Nótese que aquí la regla discriminante requiere encontrar ecuación de una recta.

Si se escoge la opción intermedio, numérico, lineal, determinístico y se grafican las dos variables discriminantes, se obtiene el siguiente gráfico xy:

En ese caso la regla discriminante requiere encontrar la ecuación de dos rectas.

Cuadráticas (ecuación de parábolas)

Si se escoge la opción principiante, numérico, cuadrático, determinístico y se grafican las dos variables discriminantes, se obtiene el siguiente gráfico xy:

En este caso la regla discriminante requiere encontrar la ecuación de una parábola.

Si se escoge la opción intermedio, numérico, cuadrático, determinístico y se grafican las dos variables discriminantes, se obtiene el siguiente gráfico xy:

Aquí la regla discriminante requiere calcular dos parábolas.

Probabilísticos

Los casos probabilísticos tienen la dificultad adicional de que no se pueden separar completamente las dos nubes de puntos. Es decir hay una zona difusa. Por ejemplo, un caso Intervalo, Principiante, Probabilístico, da origen al siguiente gráfico si se escoge la variable discriminante:

Nótese que la separación no es perfecta. Otro ejemplo, con la opción Lineal, Intermedio, Probabilístico, da lugar al gráfico siguiente:

Aquí tampoco se puede separar completamente las nubes de círculos de las de asteriscos.

Nivel Experto

En este nivel para el caso lineal o cuadrático hay que encontrar transformaciones lineales o cuadráticas, tales que si se grafican en esas nuevas variables los datos de las apuestas entonces aparezca claramente las regiones de círculos (casillero blanco) y asteriscos (casillero negro).

Por ejemplo, aquí se presenta un caso cuadrático:

( ¡Ojo con los ejes xy del gráfico! )

Es decir después de transformadas las variables originales, quedan cuatro cuadrantes: dos de círculos y dos de asteriscos.

Este nivel requiere un manejo matemático más profundo de las ecuaciones de primer y segundo grado, por lo cual se recomienda sólo para estudiantes muy hábiles en matemáticas.

Reporte para el Profesor

El juego Sorpresas Mágicas, genera automáticamente un reporte para el profesor. Este reporte corresponde al archivo profe.txt ubicado en el directorio donde queda instalado el software. Se puede ver con el Notepad o cualquier editor, y lo puede imprimir.

El archivo contiene la fecha, nombre del equipo, puntaje acumulado hasta donde llegaron apostando, número de apuestas realizadas, tiempo total empleado, cantidad de casilleros (jugadores) del equipo, Nivel, problema, y en caso numérico el tipo y si contiene ruido (determinístico / probabilístico). Además contiene el puntaje acumulado por cada casillero.

En cada PC donde esté instalado se va a generar este archivo. Al imprimir o copiar estos archivos, el profesor posee automáticamente una evaluación de cada estudiante.

Modalidades de Juego

El profesor puede usar el juego Sorpresas Mágicas de varias formas. Aquí se presentan algunas recomendaciones.

Apuesta-a-Apuesta

Este es el uso inicial, con el que se recomienda partir. Es el más básico y directo. Cada estudiante apuesta por su casillero cada vez que se presenta la pantalla de apuesta.

Apuesta-Regla

Cualquier estudiante puede apostar a una regla. Típicamente esto lo hace porque descubrió una regla y está seguro de ella. Entonces por las próximas 5 apuestas se usará su regla para adivinar si su casillero es blanco o negro. Si le apunta gana 2 puntos, si no pierde 2 puntos. Este modo corresponde mucho más cercanamente a cómo se hace ciencia (uno apuesta por un modelo) o cómo se toman decisiones en el mundo de los negocios cuando se automatizan procesos (una regla de compra o venta de acciones, o un sistema de scoring para créditos con tarjetas de créditos). Se recomienda pasar a esta modalidad cuando los estudiantes ya dominaron la modalidad Apuesta-a-Apuesta.

Apuesta-Reglas y con Montos Variables

Esta modalidad es la más sofisticada, pero logra hacer que el estudiante experiencie mejor la noción de probabilidad. Al inicio de la clase, el profesor asigna una cantidad de fichas (puntos) a cada estudiante. En cualquier momento un jugador puede apostar a una regla o casillero con un monto de fichas que coloca en el casillero. Es decir su apuesta además de decir blanco o negro (o una regla) contiene un monto de fichas (puntos). Si le acierta, el profesor le otorga el mismo número de puntos que apostó, pero si no le apunta pierde las fichas (puntos) que apostó. Si había apostado con una regla los aciertos se premian con el doble de puntos con que apostó, pero si no acierta pierde el doble de puntos que apostó.

Juguemos en Grande

Descripción detallada del juego (versión no computacional):

“..la creatividad está más en encontrar buenas representaciones de los problemas que en resolverlos”

- Pat Langley, Hebert Simon (Premio Nobel de Economía), Gary Bradshaw y Jan Zytkow

Las Sorpresas Mágicas de AutoMind es un mecanismo de representación visual, espacial y directamente manipulable con manos y dedos, de la problemática central del método científico y, en general, del problema filosófico sobre la naturaleza del conocimiento y el aprendizaje. Este juego didáctico representa una estrategia alternativa para que el profesor de a conocer esta problemática expresándola mediante acciones y no necesariamente en forma verbal o matemática.

Cada caja mágica contiene en su interior una sorpresa mágica, que es un tablero con 4 casilleros cuadrados numerados (en la versión introductoria) o con 12, 16 o 25 casilleros cuadrados numerados (en la versión normal): algunos cuadrados son negros y otros son blancos. Todos los equipos deben numerar sus integrantes asignándolos a los cuadrados con el mismo número. Así, cada integrante debe preocuparse de adivinar el color de fondo del cuadrado cuyo número corresponde al que tiene asignado. Adicionalmente, cada integrante recibe al inicio un número prefijado de fichas como puntaje de partida.

En las ilustraciones que siguen se muestra el caso de uso de la versión introductoria de las Sorpresas Mágicas de AutoMind.

Hola, yo soy Marylen y mi amiga es Luciana. Junto a Fabián te mostraremos el juego.

Yo me encargo de sacar las cajas y medir sus propiedades y contabilizar los puntos

El monitor, que en este caso es Fabián, saca la primera caja mágica en forma aleatoria, y para cada caja da a conocer sus propiedades: número, largo, ancho, alto y color de la caja, así como las propiedades de las caras que ilustran los lados inferiores externos de las cajas.

Desde un montón de cajas

...Fabián selecciona una...

...y mide algunas propiedades

En ese momento, cada jugador debe apostar si la sorpresa correspondiente es blanca o negra. Las apuestas comienzan por un primer equipo asignado por el monitor. Las apuestas se hacen públicas antes que apueste el equipo siguiente. En las imágenes siguientes las jugadoras apuestan sobre el color de fondo del casillero número 1:

Yo creo que el uno tiene fondo negro

Yo apuesto a que es blanco

El monitor abre la caja y muestra la sorpresa mágica.

Fabián abre la caja y revela la sorpresa.

Los que no aciertan ceden un punto, que se acumula y se reparte entre los ganadores por partes iguales. Si sobran fichas de puntos, éstas son acumuladas por el monitor para la próxima apuesta.

Marylen pierde 1 punto...

...y, por lo tanto, entrega 1 ficha a Luciana.

A continuación, Fabián saca al azar una segunda caja:

Ahora comienza a apostar el equipo siguiente en el sentido del giro de las manecillas del reloj. Es decir, en este caso primero apuesta Marylen y luego Luciana:

Apuesto 1 blanco

Yo apuesto 1 negro

Fabián abre la caja...

...y muestra la sorpresa.

Luciana pierde 1 punto...

...que lo gana Marylen.

Aquellos equipos que se quedan sin fichas de puntos suficientes para poder apostar deben abandonar el juego. Sin embargo, los integrantes de un mismo equipo pueden traspasarse fichas entre ellos. El juego termina a la apuesta número 60. Se cuentan los puntos y gana el de mayor puntaje.

En cualquier momento del juego un equipo puede decidir apostar a una fórmula. Esta puede ser una expresión matemática, regla o árbol de decisión, que especifique completamente el color de uno de los casilleros. Por ejemplo: Si el ancho de la caja es menos 5 centímetros entonces el casillero 3 es blanco, en caso contrario es negro. Cada vez que en el futuro la fórmula acierte, el equipo gana dos puntos en vez de uno. Por el contrario, si no acierta, el equipo pierde dos puntos. Una vez entregada la fórmula no puede cambiarse y en adelante las apuestas de ese equipo para ese casillero sólo se pueden hacer con esa fórmula. La fórmula es secreta y además del equipo que la propuso sólo la sabe el monitor del juego.

Regla en papel.

Árbol de decisión.

A continuación el monitor debe sacar al azar las cajas mágicas suficientes hasta completar 60 de ellas y debe traducir las reglas de cada equipo en las apuestas correspondientes llenando la hoja de apuestas. Luego, el monitor procede a contabilizar los aciertos y errores de cada equipo, cuyo total se suma al puntaje acumulado mediante fichas para así determinar el ganador.

Contabilización final de los puntos.

Niveles de dificultad: El juego contiene 5 niveles diferentes de dificultad:

Nivel 1: Diseñado para que el estudiante aprenda los conceptos básicos de inducción (variables versus clases, uso de información histórica, predicción), a detectar las variables más discriminantes, a ordenar variables por su importancia para clasificar y a descartar variables irrelevantes. Este nivel no incluye todavía mezcla de variables. Lo que se pretende es otorgar al profesor actividades didácticas concretas que le permitan introducir a los estudiantes a que ellos activamente manipulen y asimilen múltiples representaciones de la información: las cajas y sus sorpresas, las cajas y sus sorpresas ordenadas, representaciones en gráficos x-y de los datos según los diferentes pares de variables, los conceptos de histograma de frecuencias y funciones de distribución acumuladas. Por otra parte, este nivel le permite al profesor hacer que los estudiantes manipulen y asimilen representaciones de regiones de decisión, reglas de decisión, fórmulas de decisión y árboles de decisión. Adicionalmente, el profesor puede introducir las nociones de medidas de discriminación (KS) y de probabilidades condicionales, y el uso de AutoExpert, el módulo inductivo del software VisualTree, diseñado para facilitar y acelerar los cálculos.

Nivel 2: Diseñado para que el estudiante aprenda a analizar varias variables a la vez y a buscar la combinación que sea más discriminante. Acá, el profesor puede introducir los conceptos de gráficos de dos dimensiones con nubes de poblaciones, puede enseñar a describir regiones rectangulares con árboles de decisión y a calcular a mano y con el uso del computador la capacidad de discriminación de las regiones rectangulares (KS de regiones).

Gráfico x y de las propiedades de las cajas seleccionadas por el monitor.

Región rectangular y árbol decisión correspondiente.

Nivel 3: Diseñado para que el estudiante aprenda a analizar varias variables a la vez y a buscar la combinación lineal que sea la más discriminante. Acá, el profesor puede introducir los conceptos de gráficos de dos dimensiones con rectas que separan a las dos nubes de poblaciones, puede enseñar a describir regiones oblicuas con fórmulas lineales y con árboles de decisión, y a calcular a mano y con el uso del computador la capacidad de discriminación de las regiones oblicuas definidas por ecuaciones de rectas (KS de regiones oblicuas y de variables tipo puntaje).

Nivel 4: Diseñado para que el estudiante aprenda a analizar varias variables a la vez y a buscar una fórmula polinómica que sea la más discriminante. Acá, el profesor puede introducir los conceptos de gráficos de dos dimensiones con polinomios que separan a las dos nubes de poblaciones, puede enseñar a describir regiones polinómicas junto con árboles de decisión, y a calcular a mano y con el uso del computador la capacidad de discriminación de las regiones polinómicas (KS de regiones y de fórmulas utilizando polinomios).

Nivel 5: Diseñado para que el estudiante aprenda a analizar varias variables a la vez y a buscar la combinación que sea la más discriminante en la presencia de poblaciones no separables y mediciones con alto nivel de ruido. Acá, el profesor puede introducir los conceptos de capacidad de discriminación cuando la información está muy contaminada con ruido y puede enseñar las nociones de bases de aprendizaje y testeo.

Juegos con reloj

El monitor puede decidir jugar con reloj otorgando un tiempo máximo de respuesta de 5 minutos por equipo ó, en el caso de juegos a gran velocidad, un tiempo máximo de respuesta de 1 minuto por equipo.

Hoja de apuesta:

Hoja de apuesta de un juego con

sorpresas de 4x3 casilleros

Marcando negro el 8 en la hoja de apuesta.

Fundamentos Metodológicos:

Las Sorpresas Mágicas de AutoMind se basan en cuatro concepciones del aprendizaje:

· La Teoría de las Inteligencias Múltiples (Gardner)

· La Representación Visual del Conocimiento (Kosslyn)

· La Teoría Evolutiva del Desarrollo Cognitivo (Siegler)

· Aprendizaje en Equipo (Johnson & Johnson)

Avances y descubrimientos recientes en neurología nos han revelado que la mente humana es modular: básicamente está compuesta de 7 u 8 procesadores que son casi independientes entre sí. Según el neurólogo y sicólogo Howard Gardner, los procesadores básicos son los siguientes: el lógico-matemático, el lingüístico, el espacial (visual), el motriz-cinestético, el musical, el intrapersonal y el interpersonal.

Como es de esperar, los algoritmos de inducción estadística y estimación de probabilidades condicionales utilizan primordialmente el procesador lógico-matemático, y sólo algunos individuos con mayor talento o inteligencia matemática pueden llegar a asimilar algunos de los conceptos estadísticos, probabilísticos y matemáticos involucrados en el reconocimiento de patrones en datos simbólicos y numéricos. Son muy pocos los individuos que logran aprender conceptos gráficos, ecuaciones de rectas, ecuaciones de polinomios y conceptos probabilísticos, y a relacionarlos con problemas reales, con las bases del método científico y con los análisis y discusiones centenarias de filosofía de la ciencia y la naturaleza del conocimiento.

Para enfrentar este desafío educacional, AutoMind ha diseñado las Sorpresas Mágicas de AutoMind, una herramienta metodológica para mejorar el aprendizaje de conceptos probabilístico, matemáticos y filosóficos. Las Sorpresas Mágicas de AutoMind le facilitan al profesor que los estudiantes puedan:

Entender el problema

Una de las mayores dificultades que enfrenta un estudiante en el aprendizaje de las probabilidades y el método científico es precisamente comprender de qué se trata este problema. La descripción matemática usual es muy abstracta y muy lejana de los intereses de la mayoría de los jóvenes. Una de las ventajas de las Sorpresas Mágicas de AutoMind es describir el problema en un medio distinto, sin utilizar necesariamente los medios lógico-matemáticos ni los lingüísticos. La presentación y descripción del problema se hace haciendo: moviendo cajas, destapando cajas y agrupando cajas con sorpresas. Es decir, inicialmente se utiliza preferentemente las inteligencias espacial (visual) y cinestético-motriz.

Despertar el interés y comprometerse emocionalmente

El juego es una actividad de gran atracción para todos los niños y jóvenes. Según el filósofo Bertrand Russell, en muchos mamíferos y otros animales, los jóvenes tienen un instinto por el juego, lo que los prepara para simular y aprender a enfrentar situaciones básicas para la sobrevivencia una vez que sean adultos. El suspenso del juego y la competencia sana y leal predisponen emocionalmente a los estudiantes a probarse y armar equipos. Una vez enganchados en el juego, los estudiantes valorizarán enormemente conceptos y procedimientos abstractos que les permitan mejorar su capacidad de maniobrar y desempeñarse en el juego. Sin emoción no hay aprendizaje. Por otra parte, este juego didáctico es una representación física de una serie de problemas reales muy frecuentes en la investigación científica, el diagnóstico médico, el mantenimiento de maquinaria, el análisis de riesgo crediticio, la predicción de partidos de fútbol u otras competencias deportivas, etc. Es seguro que para cada estudiante más de una de estas implicaciones tiene también un gran atractivo.

Representar conceptos abstractos en forma visual y cinestético-motriz

El desafío del profesor es ampliar el número de representaciones de un concepto o fenómeno. Estudios detallados (ver Leinhardt y Schwarz) de clases de excelentes profesores como el conocido matemático George Pólya, muestran que el repertorio ideal de herramientas pedagógicas contiene: múltiples representaciones, modelos analógicos, una detallada agenda de metas instruccionales y un “buen problema”. De esta forma, si bien algunos estudiantes podrán asimilar los conceptos con una representación, otros lo podrán hacer con otra diferente. El punto o canal de acceso preferencial dependerá del perfil de inteligencias de cada estudiante. Sin embargo, la inteligencia espacial y la cinestético-motriz son dos capacidades básicas de todos los seres humanos, que también están altamente desarrolladas en casi todas las especies: son básicas para la supervivencia. Es por esto, que al representar conceptos abstractos utilizando estas dos inteligencias es posible ampliar considerablemente el número de estudiantes que pueden lograr aprender y manejar estos conceptos.

Conectar múltiples representaciones lógico-matemáticas y espaciales visuales

El manejo de múltiples representaciones por un mismo estudiante y el descubrimiento de las relaciones y traducciones de una representación a la otra es un factor clave para mejorar la comprensión y el aprendizaje. Según el documento “Estrategias Inventivas para Enseñar Matemáticas” divulgado por la Asociación norteamericana de sicólogos para implementar la Reforma Educacional en los Estados Unidos, uno de los puntos centrales es establecer Conexiones Matemáticas: “...es la traducción de un modo de representar la matemática a otros modos lo que lleva a producir pensamiento matemático de orden superior”.

Utilizar múltiples estrategias

Recientes investigaciones sicológicas (por ejemplo, los estudios microgenéticos de Robert Siegler) muestran que en cualquier actividad los niños y jóvenes ensayan múltiples estrategias, comenzando por las más intuitivas e introduciendo otras más sofisticadas en el proceso de aprendizaje. Este juego está diseñado considerando el hecho que inicialmente los estudiantes utilizarán estrategias intuitivas y luego se otorgan al profesor elementos metodológicos y problemas-desafíos de creciente sofisticación para que introduzca los conceptos que les permita a los estudiantes ampliar su repertorio de estrategias y reconocer, identificar y seleccionar las estrategias más efectivas para el problema de inducción. Aún más, estos problemas-desafíos pretenden ayudar a que el estudiante descubra por sí mismo estrategias crecientemente eficientes.

Aprovechar los diversos talentos y formar equipos de trabajo

Este juego aprovecha de estimular el trabajo en equipo. Puede ser jugado por equipos compuesto de un solo estudiante, pero es recomendable hacerlo con equipos grandes de 4, 9, 16 ó 25 estudiantes por equipo. Mientras más grande sean los equipos más obligará a los estudiantes a buscar estrategias innovadoras y distintas para manejar la complejidad organizacional y tendrán que diseñar e implementar estrategias organizacionales más sofisticadas para poder jugar en forma efectiva. Este efecto es muy deseable pues los acerca considerablemente a las situaciones reales del mundo del trabajo.

Equipo de 4 jugadores formado por Carlos, Marylen, Luciana y Francisco

Resultados: caso juego masivo entre profesores

El 7 de Enero de 1998 más de 500 profesores participaron durante 5 horas en una implementación del juego de las Sorpresas Mágicas de AutoMind. Los participantes eran profesores de enseñanza básica y media, de establecimientos privados y municipalizados, y que enseñan diferentes asignaturas (religión, castellano, historia, matemáticas, etc.). Se formaron 29 equipos con un promedio de 17 integrantes por equipo. Cada equipo nombró un gerente, 12 jugadores (uno para cada casillero pues se jugó una versión de 12 casilleros) y uno o más consultores.

Se dividió la sala en 4 grupos de equipos y se asignó un monitor a cada grupo.

Los monitores recibían las apuestas que eran llevadas al centro de registro donde un “notario” recibía las apuestas y registraba una lista de los equipos que habían completado cada apuesta a tiempo.

El juego era conducido por un conductor quien mostraba y daba a conocer las medidas de las cajas y sus diferentes variables, y luego que el “notario” recibía las apuestas y autorizaba la etapa siguiente, el conductor abría las cajas y mostraba las sorpresas.

Finalmente, un asistente realizaba las mediciones que dictaba al conductor del juego para que éste las diera a conocer a los equipos en competencia.

El gerente estaba encargado de coordinar las apuestas de su equipo y entregar la apuesta oficial.

El gerente llenaba dos copias: una de respaldo donde calculaba los puntajes y otra que entregaba a los monitores del juego.

Se utilizaron cajas que contenían 8 variables:

· Largo caja

· Ancho caja

· Grosor caja

· Color caja

· Largo cara

· Ancho cara

· Expresión cara

· Color cara

El juego contenía 100 cajas. Al azar el conductor escogió sucesivamente 10 cajas. Las 10 cajas seleccionadas, sus medidas y sus correspondientes sorpresas fueron las siguientes:

Caja

Medidas

Sorpresa

Primera caja

Medidas

Color: rojo, largo caja: 6.5

grosor caja: 2.0, ancho caja: 4.0

color cara: normal, ancho cara: 1.2

largo cara: 1.5, expresión: pensativo

Primera sorpresa

Segunda caja

Medidas

Color: azul, largo caja: 6.0

grosor caja: 2.5, ancho caja: 6.0

color cara: normal, ancho cara: 1.2

largo cara: 2.0, expresión: triste

Segunda sorpresa

Tercera caja

Medidas

Color: rojo, largo caja: 7.5

grosor caja: 3.0, ancho caja: 5.0

color cara: normal, ancho cara: 1.5

largo cara: 1.8, expresión: pensativo

Tercera sorpresa

Cuarta caja

Medidas

Color: azul, largo caja: 8.0

grosor caja: 3.0, ancho caja: 5.5

color cara: normal, ancho cara: 1.2

largo cara: 1.8, expresión: pensativo

Cuarta sorpresa

Quinta caja

Medidas

Color: azul, largo caja: 9.5

grosor caja: 2.5, ancho caja: 5.5

color cara: normal, ancho cara: 1.5

largo cara: 1.8, expresión: felicidad

Quinta sorpresa

Sexta caja

Medidas

Color: rojo, largo caja: 8.0

grosor caja: 2.5, ancho caja: 5.0

color cara: normal, ancho cara: 1.5

largo cara: 2.0, expresión: felicidad

Sexta sorpresa

Séptima caja

Medidas

Color: azul, largo caja: 9.0

grosor caja: 3.5, ancho caja: 6.0

color cara: normal, ancho cara: 1.8

largo cara: 2.0, expresión: pensativo

Séptima sorpresa

Octava caja

Medidas

Color: azul, largo caja: 10.0

grosor caja: 2.5, ancho caja: 6.0

color cara: normal, ancho cara: 1.8

largo cara: 2.0, expresión: pensativo

Octava sorpresa

Novena caja

Medidas

Color: rojo, largo caja: 10.0

grosor caja: 3.0, ancho caja: 5.0

color cara: normal, ancho cara: 1.5

largo cara: 1.8, expresión: felicidad

Novena sorpresa

Décima caja

Medidas

Color: azul, largo caja: 5.5

grosor caja: 2.5, ancho caja: 4.0

color cara: normal, ancho cara: 1.2

largo cara: 1.5, expresión: pensativo

Décima sorpresa

El estado de flujo

Uno de los propósitos de convertir en juego diversas actividades de aprendizaje es justamente para facilitar en los aprendices a que alcancen el estado de flujo. El flujo es un estado de gran concentración y goce, en el que nada más pareciera importar. Según el sicólogo Mihaly Czikszentmihalyi, el flujo es una experiencia óptima donde todas las energías se ponen a disposición de la actividad en curso.

En ese estado, el aprendizaje es natural y muy valorado. Más aún, los individuos ponen en juego toda su creatividad. En el flujo la mente está en un estado muy fértil, está abierta y ávida a recibir indicaciones e ideas. Allí una pequeña actividad de aprendizaje prende y brota con gran facilidad y mucha fuerza.

Alcanzar el estado de flujo no es sencillo. Requiere inicialmente invertir esfuerzos que uno no está dispuesto a realizar. Pero una vez que la interacción comienza a proveer retroalimentación a las habilidades de uno, entonces empieza a ser intrínsecamente reconfortante. Es decir, comienza a ser autotélica: su objetivo es ella misma.

Por esta razón es necesario diseñar actividades y estrategias de iniciación que detonen o gatillen procesos de creciente sofisticación, y que ayuden así a que los participantes logren comprender toda la actividad y a alcanzar la altura necesaria para entrar al estado de flujo. Las actividades y estrategias detonantes utilizadas en las Sorpresas Mágicas de AutoMind fueron las siguientes:

1. una actividad estructurada como una competencia entre equipos,

2. metas claras y bien definidas junto a un mecanismo de puntaje que indica cómo lo está haciendo uno y permite una retroalimentación directa,

3. un premio extrínseco (un libro de regalo a cada integrante del equipo ganador), y

4. una serie de demostraciones preliminares con versiones simplificadas del juego que permitían a los participantes ir paulatinamente comprendiendo y asimilando las reglas del juego.

Una prueba clara de que la gran mayoría alcanzó ese estado de flujo fue el creciente entusiasmo y expresiones de felicidad: gritos, abrazos, saltos, y el olvido completo del recreo y café a media tarde.

Pasando “Materia” en medio del juego

Durante el juego se efectuaron tres instancias de instrucción expositivas. Cada una duró un par de minutos. La primera fue hecha después de la tercera apuesta y antes de comenzar la cuarta. El conductor explicó la importancia de anotar la información en forma ordenada y recomendó registrarla en tablas con cierto formato.

La segunda instancia fue entre la quinta y sexta apuesta. Allí el conductor explicó cómo graficar la información y cómo interpretar los gráficos para mejorar las apuestas.

La tercera instancia consistió en explicar formas efectivas de utilizar los gráficos para mejorar la formulación de hipótesis y visualización de la formación de patrones.

Está claro que el juego fue una gran entretención. La pregunta es si hubo aprendizaje. Para determinar la existencia de aprendizajes significativos se registraron las curvas de aprendizaje de cada uno de los 12 casilleros y la de toda la cartilla completa. Cada curva de aprendizaje indica para cada apuesta el porcentaje de grupos que acertaron. Las curvas son las siguientes:

Estas curvas muestran un patrón que indican claramente que después de cada instancia de enseñanza hubo un salto significativo del porcentaje de aciertos. Estos saltos revelan el impacto positivo que tuvieron esas instancias instruccionales y son la mejor prueba de la existencia de aprendizajes significativos.

Entre la séptima y octava apuesta se introdujo además la noción de regla de decisión o fórmula como una manera de expresar o verbalizar la existencia hipotética de un patrón entre las diferentes variables que definen las cajas y alguno de los casilleros sorpresa. Adicionalmente se aumentó el incentivo por aciertos a 2 puntos si era basado en una fórmula, pero con la pérdida de 2 puntos si la fórmula no acertaba. Esta explicación e incentivo extra condujo a un creciente número de apuestas basadas en fórmulas, y por lo tanto redireccionó los esfuerzos de los participantes a intentar expresar en forma más matemática las relaciones que empezaban a intuir.

Implicaciones prácticas de las Sorpresas Mágicas de AutoMind

El principal interés de las Sorpresas Mágicas de AutoMind es que además de representar un problema fundamental de la ciencia, ni más ni menos que el problema central del método científico, las Sorpresas también representan una gran cantidad de problemas reales, muy prácticos, que diferentes individuos y organizaciones enfrentan a diario.

El Fútbol

Si se piensa cada caja como un partido de fútbol entre un primer equipo A y un segundo equipo B, y se asocia el color rojo de la caja al hecho que A juega de visita y el color azul a que A juega de local; si se asocia el ancho de la caja a la diferencia de posiciones de A respecto de B en la tabla de posiciones; si se asocia el largo de la caja a la diferencia de goles de A respecto de B en los últimos tres partidos que se enfrentaron; y si se asocia la sorpresa blanca a que gana o empata A y sorpresa negra a que pierde A; entonces todo el juego se convierte en intentar estimar quién gana el próximo partido en base a la información histórica.

Diagnóstico de motores

En las grandes empresas mineras, tal como en Codelco Chuquicamata en el norte de Chile, la flota de camiones es un recurso vital. Son camiones enormes de un valor superior a un millón de dólares cada uno. Por esta razón, cada tres días, se le toman varias muestras de aceite: una al motor y otras a los mandos finales y diferentes circuitos hidráulicos de los camiones. Las muestras son llevadas a un laboratorio en las que se miden varios parámetros del aceite.

Lo increíble es que si pensamos en cada caja como un motor de un camión; si asociamos el color de la caja a las marcas de motores (caja roja significa un motor marca Detroit, y caja azul un motor marca Cummings, por ejemplo); si asociamos el ancho de la caja a la viscosidad del aceite; si asociamos el largo de la caja a la cantidad de partículas por millón de fierro en el aceite; y si asociamos la sorpresa blanca a un motor normal y la sorpresa negra a un motor en mal estado y que debe llevarse urgentemente a taller, entonces el juego se traduce en uno de los problemas principales de los Departamentos de Mantención de Equipos Mineros Rodantes: el diagnóstico de esta maquinaria en base a análisis de muestras de aceite.

Este problema es muy crítico por lo cual se dedica un gran esfuerzo a analizar la información histórica para tomar decisiones óptimas. Utilizando el método de las Sorpresas Mágicas de AutoMind aquí propuesto, AutoMind construyó el sistema de mantenimiento predictivo por análisis de aceite para Codelco Chuquicamata, construyó otro para Codelco Teniente y otro para Exxon - El Cerrejón (Colombia), que es la mina de carbón más grande del mundo.

Créditos de Consumo y Tarjetas de Créditos

Uno de las dos principales actividades de un banco es prestar dinero. Esa actividad, el préstamo, define también a las financieras y, hoy en día, también a las casas comerciales (venden en cuotas o con tarjetas). En realidad, el fiar, prestar, o el aceptar pagos a fecha, es una actividad clave del comercio y la tiene que enfrentar toda organización comercial. Hasta incluso las universidades dan créditos. El problema central es saber seleccionar a quién darle un crédito y a quién no. Si le damos a cualquiera, puede que no nos pague, y con una política crediticia tan indiscriminada es seguro que la institución financiera va directo a la quiebra. Por el contrario, si somos muy estrictos entonces no otorgaremos crédito a nadie, y así también quebramos. El desafío, entonces, es encontrar una manera de determinar si le damos un crédito o no al cliente que tenemos al frente. Veamos cómo hacerlo con las Sorpresas Mágicas de AutoMind.

Asociemos una caja a un cliente; asociemos el color azul a un cliente empleado (o sea, con sueldo estable) y rojo a un cliente independiente; asociemos el ancho de la caja a la antigüedad en el empleo o actividad; asociemos el largo de la caja al ingreso mensual; y asociemos la sorpresa blanca a un buen cliente (paga los créditos) y una sorpresa negra a los clientes morosos. Entonces, el juego se convierte en analizar la cartera de clientes para determinar un criterio que permita discriminar si el cliente que estamos atendiendo puede ser uno bueno (sorpresa blanca) o uno malo (sorpresa negra).

Hemos usado este método para créditos hipotecarios,

Créditos de consumo y tarjeta de crédito.

Marcela Forero, Gerente Crédito Individuo

Corporación Colmena, Colombia

Esta metodología la ha aplicado AutoMind en varios bancos. Por ejemplo, el nuevo sistema de evaluación crediticia del Banco de Chile y el de Corporación Colmena (Colombia) han sido hecho por AutoMind con el método de las Sorpresas Mágicas de AutoMind. Los sistemas implementados en estos bancos utilizan más variables que las aquí descritas, pero eso no cambia en nada las metodologías aquí propuestas.

Fabricación de tubos y control de calidad

La fabricación de tubos de acero sin costura es un proceso complejo. Esos tubos forman tuberías de varios kilómetros que descienden verticalmente hasta llegar a las napas subterráneas, en muchos casos bajo el mar, para así extraer y producir petróleo. Un derrame por falla o por una grieta de un tubo no sólo es una gran pérdida de producción sino que por sobre todo puede producir un desastre ecológico de grandes proporciones. Siderca es una planta argentina dedicada a la producción de estos tubos y uno de los principales exportadores mundiales.

Siderca monitorea permanentemente, en todo instante y con diferentes sensores, varios parámetros físicos durante todo el proceso de fabricación. De esta manera pueden advertir tempranamente una posible falla de fabricación y entonces pueden determinar detener la línea de producción hasta ajustar la maquinaria y/o el proceso. Desafortunadamente, sin embargo, cuando se desajusta el proceso de fabricación en un laminador y se activan las alarmas, el operador puede parar el proceso, pero un total de otros 50 tubos siguen produciéndose y, por lo tanto, todos ellos se pierden. Por otra parte, para asegurar la calidad de los tubos fabricados, un equipo distinto perteneciente al Departamento de Calidad, prueba los tubos terminados, ya fabricados, independientemente de lo hecho en producción. En general, el Departamento de Calidad rechaza un 6% de los tubos fabricados. Entonces el gran desafío es: ¿cómo poder advertir lo más tempranamente posible, ojalá en el mismo momento cuando se están fabricando los tubos, si ellos van a salir buenos o defectuosos? Es decir, a partir de las mediciones en línea con sensores instalados en el laminador, determinar si cuando en el futuro el Departamento de Calidad pruebe los tubos ya fabricados y que ahora están recién en proceso de fabricación, van a salir o no con la calidad mínima requerida.

Veamos cómo usando el método de las Sorpresas Mágicas de AutoMind se pudo dar respuesta a este desafío. Imagina que cada caja es un tubo en fabricación en un laminador. Asocia el color rojo a un tipo de tubo y el color azul a otro tipo de tubo; asocia el ancho de la caja a la temperatura de forado del tubo; asocia el largo de la caja a la relación de fuerzas separatrices en los rodillos del laminador; y asocia la sorpresa a la prueba final de Control de Calidad: si la sorpresa es blanca significa que en el ensayo de prueba final se determina que el tubo está bien fabricado y si es negro significa que tiene fallas.

Dr. Gustavo Sanchez Sarmiento

Director Departamento de Física

Universidad de Buenos Aires.

Con este método y el módulo inductivo de VisualTree, Gustavo Sánchez Sarmiento, profesor de la Universidad de Buenos Aires encontró las variables más importantes que hay que monitorear y una manera de predecir oportunamente una eventual producción de mala calidad.

Preparándose para buscar trabajo

Macarena a los 18 años está buscando trabajo por primera vez. No está segura ni de la vestimenta más apropiada, ni de cómo hacer el curriculum, ni de la actitud más adecuada durante las entrevistas. Patricia, su hermana menor de 16 años, tiene una idea: conseguir información de otras jóvenes. Después de encuestar a 50 jóvenes y de recopilar los antecedentes de cada entrevista de trabajo, decidió registrar 5 variables. Esas variables y sus correspondientes valores posibles son:

· Tipo de trabajo buscado: secretaria, vendedora

· Vestimenta: formal, deportiva, casual

· Actitud en entrevista: rápida y segura, no muy rápida pero reflexiva, cordial

· Número de páginas del curriculum entregado: 1, 2, 3

· Redacción del curriculum: destacar estudios y notas, destacar participación en acciones comunitarias, destacar conocidos

Por otra parte, en cada caso Patricia anotó si la entrevista fue exitosa (la postulante fue contratada) o no.

· ¿Qué te parece la propuesta de Patricia? __________

· ¿Qué otra variable crees tú que Patricia debería incluir en su investigación? _________________________

· En la analogía de las cajas y sorpresas mágicas, ¿a qué corresponden las variables Tipo de Trabajo, Vestimenta, Actitud en entrevista, Número de Páginas y Redacción del curriculum? ______________

· ¿A qué corresponde el hecho de que la entrevista fuese exitosa o no? __________

Prepara con tus compañeras y compañeros tu propia lista de variables a considerar y diseña una encuesta.

· ¿Cuánta gente deberían encuestar? ______________________

· ¿Cuál sería el formato en que se almacenaría la información? ___________

· ¿Qué tipo de conclusiones podrían obtenerse con la información acumulada? _________________

· Analiza la información y presenta las conclusiones.

Si deseas ver más ejemplos y aplicaciones al mundo real del método de las Sorpresas Mágicas de AutoMind, consulta el libro “Construyendo Sistemas de Soporte al Desempeño Multimedios” de Angus Reynolds y Roberto Araya.

Bibliografía:

1. Araya, Roberto. “Inteligencia Matemática”. Por publicarse.

2. Araya, Roberto. “Construcción Visual de Conocimientos con Juegos Cooperativos”. AutoMind Educación, Segunda Edición, 1997.

3. AutoMind. “La Conferencia de Howard Gardner en Chile: Inteligencias Múltiples en Educación”, AutoMind Educación, 1998.

4. Gardner, Howard. “La Mente no Escolarizada”. Paidós, 1997.

5. Johnson, David; Johnson, Roger y Johnson Hobulec, Edythe. “Los Nuevos Círculos de Aprendizaje: Cooperación en el Salón de Clases y en la Escuela”, ASCD, 1996.

6. Langley, Pat; Simon, Herbert; Bradshaw, Gary y Zytkow, Jan “El Descubrimiento Científico” (en inglés), MIT Press, 1992.

7. Leinhardt, Gaea y Schwarz, Baruch. “Ver el Problema: una Explicación de Pólya” (en inglés) Cognition and Instruction, 1997, Volumen 15, Número 3, pp 395 - 434.

8. Reynolds, Angus y Araya, Roberto. “Construyendo Sistemas de Soporte al Desempeño Multimedios” (en inglés), McGraw Hill, New York, 1995.

9. Siegler, Robert. “El Pensamiento de los Niños” (en inglés), Prentice Hall, Tercera Edición, 1998.

10. Department of Education. “Estado del Arte en Transformar Ideas para la Enseñanza y Aprendizaje de la Ciencia” (en inglés), 1993.

11. Department of Education. “Estado del Arte en Transformar Ideas para la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas” (en inglés), 1993.

12. Middleton, James y Goepfert, Polly. “Estrategias Inventivas para Enseñar Matemáticas: Implementando Estándares para la Reforma” (en inglés), American Psychology Association, 1996.